Calculo, rama de las matematicas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores maximo y minimo de funciones y de la determinacion de longitudes, areas y volumenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingenieri­a, siempre que haya cantidades que vari­en de forma continua.

II. Evolucion historica

El calculo se deriva de la antigua geometria griega. Democrito calcula el volumen de piramides y conos, se cree que considerandolos formados por un numero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente diminuto), y Eudoxo y Arquimides utilizaron el "metodo de agotamiento" para encontrar el area de un ci­rculo con la exactitud requerida mediante el uso de poligonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con numeros irracionales y las paradojas de Zenon de Elea impidieron formular una teori­a sistematica del calculo. En el siglo XVII, Francesco B. Cavalieri y Evangelista Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el algebra para encontrar el area y las tangentes (integracion y diferenciacion en terminos modernos). Fermat e Isaac Barrow teni­an la certeza de que ambos callculos estaban relacionados, aunque fueron Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W. Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del calculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teori­a de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicacion aun provoca disputas sobre quien fue el primero. Sin embargo, terminan  por adoptarse la notacion de Leibniz.

En el siglo XVIII aumentan considerablemente el numero de aplicaciones del calculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales,h asta como la intuicion geometrica, causaban todavi­a confusion y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus cri­ticos mas notables fue el filosofo irlandes George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matematicos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos  basados en cantidades finitas: Bernhard Bolzano y Augustin Louis Cauchy definieron con precision los ‚­mites y las derivadas; Cauchy y Bernhard Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Julius Dedekind y Karl Weierstrass con los numeros reales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los ‚­procos son falsos. En el siglo XX, el analisis no convencional, legitima‚ el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparecieron de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del calculo.

III. Calculo diferencial

El calculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuacion y = f(x), en donde la funcion f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un minimo incremento h en la x, de un valor x0 a x0 + h, produce un incremento k en la y que pasa de y0 = f(x0) a y0 + k = f(x0 + h), por lo que k = f(x0 + h) - f(x0). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x variable‚­a de x0 a x0 + h. La grafica de la funcion y = f(x) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = (x0,y0) y B = (x0 + h, y0 + k) en esta curva; , en donde h = AC y k = CB, ‚­ es que k/h es la tangente del angulo BAC.

Si h tiende hacia 0, para un x0 fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantaneo de la y en x0; geometricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y = f(x), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT, en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A. ‚­, se define la derivada f'(x0) de la funcion y = f(x) en x0 como el li­mite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:

Este valor representa la magnitud de la variacion de y y la pendiente de la curva en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es la distancia, la derivada representa la velocidad instantanea. Valores positivos, negativos y nulos de f'(x0) indican que f(x) crece, decrece o es estacionaria respectivamente en x0. La derivada de una funcion es a su vez otra funcion f'(x) de x, que a veces se escribe como dy/dx, df/dx o Df. Por ejemplo, si y = f(x) = x2 (parabola), entonces

por lo que k/h = 2x0 + h, que tiende hacia 2x0 cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x0 es por tanto 2x0, y la derivada de f(x) = x2 es f'(x) = 2x. De manera similar, la derivada de xm es mxm-1 para una m constante. Las derivadas de las funciones mas corrientes son bien conocidas

Para calcular la derivada de una función, hay que tener en cuenta unos cuantos detalles: primero, se debe tomar una h muy minima (positiva o negativa), pero siempre distinta de cero. Segundo, no toda funcion f tiene una derivada en todas las x0, pues k/h puede no tener un limite‚ cuando h 0; por ejemplo, f(x) = |x| no tiene derivada en x0 = 0, pues k/h es 1 o -1 segun que h > 0 o h < 0; geometricamente, la curva tiene un vertice (y por tanto no tiene tangente) en A = (0,0). Tercero, aunque la notacion dy/dx sugiere el cociente de dos numeros dy y dx (que indican cambios infinitesimales en y y x) es en realidad un solo numero, el li­mite de k/h cuando ambas cantidades tienden hacia cero.

Diferenciacion es el proceso de calcular derivadas. Si una funcion f se forma al combinar dos funciones u y v, su derivada f' se puede obtener a partir de u, v y sus respectivas derivadas utilizando reglas sencillas. Por ejemplo, la derivada de la suma es la suma de las derivadas, es decir, si f = u + v (lo que significa que f(x) = u(x) + v(x) para todas las x) entonces f' = u' + v'. Una regla similar se aplica para la diferencia: (u - v)' = u' - v'. Si una funcion se multiplica por una constante, su derivada queda multiplicada por dicha constante, es decir, (cu)' = cu' para cualquier constante c. Las reglas para productos y cocientes son mas complicadas: si f = uv entonces f' = uv' + u'v, y si f = u/v entonces f'= (u'v-uv')/v2 siempre que v(x) 0. Utilizando estas reglas se pueden derivar funciones complicadas; por ejemplo, las derivadas de x2 y x5 son 2x y 5x4, por lo que la derivada de la funcion 3x2 - 4x5 es (3x2 - 4x5)' = (3x2)' - (4x5)' = 3·(x2)' - 4·(x5)' = 3·(2x) - 4·(5 x4) = 6x - 20x4. En general, la derivada de un polinomio cualquiera f(x) = a0 + a1x + ... + anxn es f'(x) = a1 + 2a2x + ... + nanxn-1; como caso particular, la derivada de una función constante es 0. Si y = u(z) y z = v(x), de manera que y es una función de z y z es una función de x, entonces y = u(v(x)), con lo que y es función de x, que se escribe y = f(x) donde f es la composición de u y v; la regla de la cadena establece que dy/dx = (dy/dz)·(dz/dx), o lo que es lo mismo, f'(x) = u'(v(x))·v'(x). Por ejemplo, si y = ez en donde e = 2,718... es la constante de la exponenciación, y z = ax donde a es una constante cualquiera, entonces y = eax; según la tabla, dy/dz = ez y dz/dx = a, por lo que dy/dx = aeax.

Muchos problemas se pueden formular y resolver utilizando las derivadas. Por ejemplo, sea y la cantidad de material radiactivo en una muestra dada en el instante x. Según la teoría y la experiencia, la cantidad de sustancia radiactiva en la muestra se reduce a una velocidad proporcional a la cantidad restante, es decir, dy/dx = ay con una cierta constante negativa a. Para hallar y en función de x, hay que encontrar una función y = f(x) tal que dy/dx = ay para cualquier x. La forma general de esta función es y = ceax en donde c es una constante. Como e0 = 1, entonces y = c para x = 0, así es que c es la cantidad inicial (tiempo x = 0) de material en la muestra. Como a<0, se tiene que eax 0 cuando x crece, por lo que y 0, confirmando que la muestra se reducirá gradualmente hasta la nada. Este es un ejemplo de caída exponencial que se muestra en la figura 2a. Si a es una constante positiva, se obtiene la misma solución, y = ceax, pero en este caso cuando el tiempo transcurre, la y crece rápidamente (como hace eax si a>0). Esto es un crecimiento exponencial que se muestra en la figura 2b y que se pone de manifiesto en explosiones nucleares. También ocurre en comunidades animales donde la tasa de crecimiento es proporcional a la población.

IV. Cálculo integral

El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F' = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = f(x)dx o simplemente F = f dx (esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integración: como la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x es x2. Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)' = F' + c' = f + 0 = f. Por ejemplo, 2xdx = x2 + c.

Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la integral de x = ½·2x es ½x2, y de forma similar xm dx = xm+1/(m + 1) para cualquier m -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral de x-1 = 1/x para cualquier x 0). La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas (ver la tabla).

Una aplicación bien conocida de la integración es el cálculo de áreas. Sea A el área de la región delimitada por la curva de una función y = f(x) y por el eje x, para a x b. Para simplificar, se asume que f(x) 0 entre a y b. Para cada x a, sea L(x) el área de la región a la izquierda de la x, así es que hay que hallar A = L(b). Primero se deriva L(x). Si h es una pequeña variación en la x, la región por debajo de la curva entre x y x + h es aproximadamente un rectángulo de altura f(x) y anchura h (véase figura 3); el correspondiente incremento k = L(x + h) - L(x) es por tanto, aproximadamente, f(x)h, por lo que k/h es, aproximadamente, f(x). Cuando h 0 estas aproximaciones tienden hacia los valores exactos, así es que k/h f(x) y por tanto L'(x) = f(x), es decir, L es la integral de f. Si se conoce una integral F de f entonces L = F + c para cierta constante c. Se sabe que L(a) = 0 (pues el área a la izquierda de la x es cero si x = a), con lo que c = -F(a) y por tanto L(x) = F(x) - F(a) para todas las x a. El área buscada, A = L(b) = F(b) - F(a), se escribe

Éste es el teorema fundamental del cálculo, que se cumple siempre que f sea continua entre a y b, y se tenga en cuenta que el área de las regiones por debajo del eje x es negativa, pues f(x) < 0. (Continuidad significa que f(x) f(x0) si x x0, de manera que f es una curva sin ninguna interrupción).

El área es una integral definida de f que es un número, mientras que la integral indefinida f(x)dx es una función F(x) (en realidad, una familia de funciones F(x) + c). El símbolo (una S del siglo XVII) representa la suma de las áreas f(x)dx de un número infinito de rectángulos de altura f(x) y anchura infinitesimal dx; o mejor dicho, el límite de la suma de un número finito de rectángulos cuando sus anchuras tienden hacia 0.

La derivada dy/dx = f'(x) de una función y = f(x) puede ser diferenciada a su vez para obtener la segunda derivada, que se denota d2y/dx2, f''(x) o D2f. Si por ejemplo x es el tiempo e y es la distancia recorrida, entonces dy/dx es la velocidad v, y d2y/dx2 = dv/dx es el incremento en la velocidad, es decir, la aceleración. Según la segunda ley del movimiento del Newton, un cuerpo de masa constante m bajo la acción de una fuerza F adquiere una aceleración a tal que F = ma. Por ejemplo, si el cuerpo está bajo la influencia de un campo gravitatorio F = mg (donde g es la magnitud del campo), y entonces ma = F = mg por lo que a = g, y por tanto dv/dx = g. Al integrar, se tiene que v = gx + c, en donde c es una constante; sustituyendo x = 0 se ve que c es la velocidad inicial. Integrando dy/dx = v = gx + c, se tiene que y = ½gx2 + cx + b en donde b es otra constante; sustituyendo de nuevo x = 0 se tiene que b es el valor inicial de la y.

Las derivadas de orden superior f(n)(x) = dny/dxn = Dnf de f(x) se calculan diferenciando n veces sucesivamente. El teorema de Taylor muestra que f(x) se puede aproximar como una serie de potencias f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn + ..., donde los coeficientes a0,a1, ... son constantes tales que an = f(n)(0)/n! (en donde 0!=1 y n!= 1 × 2 × 3 × ... × n para cualquier n 1). Las funciones utilizadas más a menudo pueden aproximarse por series de Taylor; por ejemplo si f(x) = ex se tiene que f(n)(x) = ex para cualquier n, y que f(n)(0) = e0 = 1 por lo que:

V. Derivadas parciales

Las funciones con varias variables tienen también derivadas. Sea z = f(x, y), es decir, z es función de x e y. Si se mantiene y constante temporalmente, z es una función de x, con lo que al diferenciar se obtiene la derivada parcial z/x = f/x; de la misma manera, si se toma la x como constante y se diferencia con respecto de la y se obtiene z/y = f/y. Por ejemplo, si z = x2 - xy + 3y2 se tiene que z/x = 2x - y y que z/y = -x + 6y. Geométricamente, una ecuación z = f(x, y) define una superficie en un espacio tridimensional; si los ejes x e y son horizontales y el eje z es vertical, entonces z/x y z/y representan los gradientes de dicha superficie en el punto (x, y, z) en la dirección de los ejes x e y, respectivamente. Las derivadas parciales también se pueden calcular para funciones con más de dos variables, considerando que todas las variables menos una son constantes y derivando con respecto a ésta. Utilizando este procedimiento es posible calcular derivadas parciales de orden superior. Las derivadas parciales son importantes en las matemáticas aplicadas, pues existen funciones que dependen de diversas variables, como el espacio y el tiempo.

Es posible encontrar, en el estudio del espacio tridimensional que el símbolo (a1, a2,a3) tenga dos interpretaciones geométricas diferentes. Puede interpretarse como un punto, en cuyo caso a1, a2 y a3 son las coordenadas o se puede interpretar como un vector, en cuyo caso a1, a2 y a3 son las componentes. Por tanto, se concluye que una n-ada ordenada (a1, a2,.....an)· se puede concebir como un ''punto generalizado" o como un "vector generalizado", y como desde el punto de vista matemático no tiene importancia, se puede describir una n-ada como Rn .

Definición: Se dice que dos vectores u = (u1, u2,.....un) y v = (v1, v2,.....vn) en Rn son iguales si

u1 = v1 , u 2 = v2,......un = vn

La suma u + v se define como

U + v = ( u1 + v1, u2 + v2,.....un + vn)

Si K es cualquier escalar, el múltiplo escalar ku se define por

Ku = (ku1,ku2,........kun )

Las operaciones de adición y multiplicación escalar dadas en esta definición se denominan operaciones estándares sobre Rn

El vector cero en Rn se define como el vector

0 = (0,0,........0)

El vector negativo o inverso de u se denota -u y se define

-u = (-u1 - u2,.....-un)

Se define la sustracción de vectores en Rn por v - u = v + (-u) o en términos de las componentes

V - u = v + (-u) = (v1, v2,.....vn) + (-u1 - u2,.....-un)

= (v1 - u1 , v2 - u2, ..... vn -un)

Espacio Vectorial Trivial

Sea V={0}, Es decir V consiste sólo en el número 0como 0+0=1.0 = 0+(0+0) +0 =0, se ve que Ves un espacio vectorial . Con frecuencia se le da el nombre de espacio vectorial trivial

Teorema

Si u = (u1, u2,.....un), v = (v1, v2,.....vn) y w = (w1, w2,.....wn) son vectores en Rn y k y l son escalares , entonces

a) u+v = v+u

b) u + (v + w) = (u -+- v) + w

c) u+0 = 0+u = u

d) u +(—u)= 0 es decir, u - u= 0

e) k{lu)=(kl)u '

f) k(u + v) = Ku +Kv

9) (K + l)u = ku + lu

h) lu = u

Con este teorema se pueden manipular los vectores en Rn sin expresarlos en términos de componentes, casi de la misma manera como se manipulan los números reales.

Por ejemplo, para despejar x en la ecuación vectorial x+u=v, se puede sumar u a ambos miembros y proceder como sigue:

(x+u)+(-u) = v + (-u)

x + (u- u) = v - u

x + 0 = v - u

x = v - u

Definición.

Si u = ( u1,u2,...un ) y v = ( v1,v2,...vn ) son vectores cualesquiera en

Rn, entonces el producto euclidiano interior u • v se define por

u.v = u1.v1 +u2.v2 +.........+un.vn

Teorema

Si u, v y w son vectores en R" y k es un escalar cualquiera, entonces:

a) u • v = v • u

b) (u+v) * w = u •w+v •w

c) (ku) • v = k(u • v)

d) v • v >= 0. Además, v , v= 0 si y solo si v = 0

Se probara el casos (b)

Demostración (b).

Sean u = (u 1, u2, ... un), v= (v1, v2, ... vn), w = (w1, w2, ... wn)

Entonces (u+v).w = (u 1.+ v1, u2.+ v2,....Un.+ vn) . (w1, w2, ... wn)

. = (u 1.+ v1) w1 + (u2 .+ v2) . w2+........(un .+ vn)+ wn.

= (u1. w1 + u2 w2+....+.un. wn) + (u1. w1 + u2 w2+.......+.un. wn)

= u.w + v.w

v. v = v1 + v2 + ..+ vn >= 0 Además la igualdad se cumple si y sólo si v1 = v2= ....= vn = 0, es decir si y solo si v = 0.

Ejemplo

Si V1 y V2 son vectores no colineales en R3 con puntos iniciales en el origen, entonces lin {V1, V2}, el cual consta de todas las combinaciones lineales k1 V1 + k2 V2, es el piano determinado por Vi y V2

De modo análogo, si v es un vector diferente de cero en R2 o R3, entonces lin {v },el cual es el conjunto de todos los múltiples escalares kv, es la recta determinada por v

INDEPENDENCIA LINEAL

Se sabe que un espacio vectorial es generado por un conjunto de vectores S= {v1, v2, . .,vr}, si cada vector en V es una combinación lineal de V1,v2........vr Los conjuntos generadores resultan útiles en una gran diversidad de problemas ya que, a menudo, es posible estudiar un espacio vectorial V estudiando primero los vectores en un conjunto generador S luego extendiendo los resultados hacia el resto de V. Por tanto, conviene mantener el conjunto generador S tan pequeño como sea posible. El problema de encontrar los conjuntos generadores mas pequeños para un espacio vectorial depende de la noción de independencia lineal.

Si S = {vi, V2, . ., v,. }es un conjunto de vectores, entonces la ecuación vectorial K1V1 + k2V2 +......+ krk,v, = 0 tiene al menos una solución, a saber,

k1 = 0, k2 = 0,.... .... kr = 0

Si esta es la única solución, entonces S recibe el nombre de conjunto linealmente independiente. Si hay otras soluciones entonces se dice que S es un conjunto linealmente dependiente.